ตรรกศาสตร์และประพจน์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 วิชาคณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์

การคิดและการใช้เหตุผลนั้นเป็นรากฐานของการใช้ตัดสินใจในชีวิตประจำวัน เมื่อย้อนมองกลับไปในประวัติศาสตร์ของวัฒนธรรมต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นจีน อินเดีย หรือกรีก ก็พบว่ามนุษย์อย่างพวกเราเริ่มเรียนรู้การให้เหตุผล การหาข้อโต้แย้ง และวางรากฐานการใช้ตรรกะกันมาอย่างยาวนาน จนในช่วง 500 ปีก่อนคริสตศักราช การอ้างเหตุผลเหล่านี้ก็กลายมาเป็นศาสตร์ทางตรรกะ หรือที่เราเรียกเก๋ ๆ ว่า ‘ตรรกศาสตร์’

เรามั่นใจว่าเพื่อน ๆ ต้องเคยได้ยินคำว่า ‘ตรรกะ’ แน่นอน ซึ่งคำว่าตรรกะนั้นมาจากคำว่า ตรฺก ในภาษาสันสกฤต หรือคำว่า ตกฺก ในภาษาบาลี แปลว่าความตรึก ความคิดอย่างใช้เหตุผล ดังนั้นตรรกศาสตร์ จึงเป็นศาสตร์สาขาหนึ่งที่ว่าด้วยการคิดหาเหตุผล หรือพิจารณาว่าสิ่งต่าง ๆ สมเหตุสมผลหรือไม่ วันนี้เราจะพาเพื่อน ๆ ไปเรียนรู้ตรรกศาสตร์เบื้องต้น แต่ก่อนจะไปถึงหัวข้ออื่น ๆ เราต้องมาทำความรู้จักกับ ‘ประพจน์’ กันก่อน (ซึ่งเพื่อน ๆ สามารถเรียนออนไลน์เรื่องนี้ในรูปแบบวิดีโอได้ เพียงดาวน์โหลดแอป StartDee ที่แบนเนอร์ด้านล่าง)

School-of-you-main-KV_840x123__Draft01

ประพจน์ (Proposition) คืออะไร

และเพื่อนใหม่ที่จะอยู่กับเรายาว ๆ ไปในบทเรียนตรรกศาสตร์ก็คือประพจน์นั่นเอง ประพจน์คือประโยคที่มีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เพื่อให้เพื่อน ๆ เข้าใจมากขึ้น เรามาดูสองตัวอย่างนี้กัน

 ประเทศไทยอยู่ในทวีปเอเชีย 

 ทวีปเอเชียสวยกว่าทวีปยุโรป 

ประโยคธรรมดา ๆ แต่เพื่อน ๆ สังเกตเห็นความแตกต่างของสองประโยคนี้ไหม จากประโยค ‘ประเทศไทยอยู่ในทวีปเอเชีย’ เมื่อเราเปิดแผนที่ดูก็จะเห็นเลยว่าประเทศไทยนั้นอยู่ในทวีปเอเชียจริง ๆ เราบอกได้ว่าประโยคนี้จริงเสมอ ประโยคนี้จึงเป็นประพจน์ ส่วนประโยคที่สองที่บอกว่า ‘ทวีปเอเชียสวยกว่าทวีปยุโรป’ หลายคนอาจจะบอกว่าจริง แต่หลายคนก็อาจจะไม่เห็นด้วยและบอกว่าประโยคนี้เป็นเท็จ จะเห็นว่าประโยคนี้ ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ เพราะว่าความสวยขึ้นอยู่กับมุมมองของแต่ละคน

ประพจน์เหมือนกันแต่ซับซ้อนขึ้น

ตัวอย่างก่อนหน้านี้ถือว่าพื้นฐานมาก ๆ ยังไม่ท้าทายพอสำหรับพวกเรา แต่ไม่ต้องห่วงเพราะยังมีประพจน์หน้าตาอื่น ๆ อีกมากมาย วันนี้เราเอามาฝากเพื่อน ๆ 6 ตัวอย่างจุก ๆ เริ่มที่…

 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านเท่ากันทั้ง 4 ด้าน 

จากทฤษฎีบทเราก็ตอบได้ว่าประโยคนี้เป็นจริงใช่ไหมล่ะ แสดงว่าประโยคนี้เป็นประพจน์

 กรุงเทพมหานครฯ เป็นจังหวัดหนึ่งของประเทศไทย 

เห็นนะว่าหลายคนพยักหน้าหงึกหงักกันแล้ว แต่ระวัง! กรุงเทพมหานครฯ เป็นเขตปกครองพิเศษต่างหากล่ะ ดังนั้นก็แสดงว่าประโยคนี้เป็นเท็จแน่ ๆ แต่ถึงจะเป็นเท็จก็ยังเป็นประพจน์ได้นะ

 x+3 มีค่าเท่ากับ 5 

เป็นโจทย์มาแบบนี้ดูเชื่อถือได้ ต้องใช่ประพจน์แน่ ๆ แต่! เราตอบไม่ได้ใช่ไหมว่าประโยคนี้เป็นจริงหรือเท็จ เพราะว่าเราไม่รู้ว่า x ของเรามีค่าเท่าไหร่ ประโยคนี้ก็เลยไม่เป็นประพจน์

แต่ถ้าหยิบประโยคเดิมมาปรับนิดหน่อย

 x+3 = 5 ดังนั้น x มีค่าเท่ากับ 3 

แหม..แค่บวกเลขในใจก็ตอบได้ทันทีใช่ไหมว่าประโยคนี้เป็นเท็จ แค่ปรับประโยคนิดเดียวก็เป็นประพจน์แล้ว

ตัวอย่าง ตรรกศาสตร์

 ห้ามเดินลัดสนาม 

เพื่อน ๆ บอกไม่ได้ใช่ไหมว่าประโยคนี้จริงหรือเท็จเพราะนี่คือประโยคคำสั่ง และก็เหมือนเคย ถ้าเราตอบไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ ประโยคนี้ก็ไม่ใช่ประพจน์

 พรุ่งนี้เป็นวันพฤหัส 

ถ้าวันนี้เป็นวันพุธ เราสามารถตอบว่าประโยคนี้เป็นจริงได้ แต่ถ้าวันนี้เป็นวันจันทร์ อังคาร หรือวันอื่น ๆ ประโยคนี้จะกลายเป็นเท็จทันที จากตัวอย่างเราถือว่าประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์ เพราะเมื่อไม่ได้ระบุสถานการณ์อย่างชัดเจนในประโยค จะทำให้ค่าความจริงเปลี่ยนไปตามแต่ละสถานการณ์

หลังจากดูตัวอย่างเราก็พอจะรู้แล้วว่าประโยคแบบไหน เป็น หรือ ไม่เป็นประพจน์ ดังนั้นถ้าเพื่อน ๆ เห็น 3 สิ่งเหล่านี้

  1. ข้อความที่เป็นคำสั่ง
  2. ข้อความที่เป็นการอุทาน
  3. ประโยคอื่น ๆ ที่ระบุค่าความจริงไม่ได้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ก็ให้เอ๊ะไว้ก่อนเลยว่าประโยคเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์แน่นอนเพราะระบุค่าความจริงไม่ได้ 

สรุปอีกครั้งว่าประพจน์คือประโยคที่มีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนประโยคหรือวลีที่เป็นคำสั่ง คำอุทาน หรือประโยคอื่น ๆ ที่ระบุค่าความจริงไม่ได้เราจะถือว่าไม่เป็นประพจน์ นำมาหาความจริงตามหลักของตรรกศาสตร์ไม่ได้นั่นเอง

ใครอยากเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เรายังมีบทเรียนออนไลน์เรื่องการหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด เซตและการแจกแจงสมาชิก และเรื่องการทดลองสุ่มและเหตุการณ์มาสนุกไปพร้อมกันได้เลย 

Reference:

Bobzien, S. (2015, December 29). Ancient Logic. Retrieved March 25, 2020, from https://plato.stanford.edu/entries/logic-ancient/

eval(ez_write_tag([[468,60],'newworldencyclopedia_org-box-2','ezslot_5',106,'0','0']));History of logic. (n.d.). Retrieved March 25, 2020, from https://www.newworldencyclopedia.org/entry/History_of_logic

แสดงความคิดเห็น