การมีลิมิตของฟังก์ชัน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 วิชาคณิตศาสตร์

การมีลิมิตของฟังก์ชัน-ม6-คณิตศาสตร์

หลังจากรู้จักกันไปแล้วว่าลิมิตคืออะไร และรู้ว่าลิมิตมีทั้งทางซ้ายและทางขวา เพื่อน ๆ อาจจะเริ่มสงสัยขึ้นมาว่า “ระหว่างซ้ายกับขวา ลิมิตที่แท้จริงคือตัวไหน ? แล้วเราจะรู้ได้ไงว่าฟังก์ชันไหนมีลิมิต ?” วันนี้ StartDee จะพาทุกคนไปหาคำตอบนี้เอง หยิบสมุดขึ้นมาให้พร้อม แล้วไปตะลุยโจทย์พร้อม ๆ กันจ้า !

 

ซ้ายขวาแล้วยังไง ตัวไหนคือลิมิตตัวจริงกันนะ ?

ถ้าเราอยากรู้ว่าลิมิตที่แท้จริงของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับเท่าไหร่ แคลคูลัสก็มีนิยามสำหรับการดูลิมิตนั้นที่ง่ายมาก ๆ ถ้าเรากำหนดให้ลิมิตทางซ้ายมีค่าเท่ากับ L1 และลิมิตทางขวามีค่าเท่ากับ L2 

ถ้า L1 = L2 เราจะถือว่าลิมิตของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับ L ไปเลย

แต่ ๆๆๆ แต่ถ้า L1 ไม่เท่ากับ L2 เราจะถือว่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น ไม่มีค่า หาค่าไม่ได้ หรือ ไม่มีลิมิต นั่นเอง

ลิมิตของฟังก์ชัน

 

การมีลิมิตของฟังก์ชันแบบต่าง ๆ

หลังจากทำความเข้าใจนิยามของ “การมีลิมิต” กันไปคร่าว ๆ แล้ว ก็ถึงเวลาตะลุยโจทย์รูปแบบต่าง ๆ แล้วล่ะ ! โจทย์เกี่ยวกับการมีลิมิตของฟังก์ชันที่น่าสนใจที่เราอยากพาเพื่อน ๆ ไปรู้จักก็จะมีลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป ลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์ ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง และลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ

ลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป

สำหรับฟังก์ชันในรูปทั่วไป การพิจารณาว่าฟังก์ชันนั้นมีลิมิตหรือไม่นั้นไม่ยากเลย แค่ดูว่าลิมิตของทางซ้ายและขวาเท่ากันหรือไม่ ยกตัวอย่างเช่นข้อนี้

ลิมิตของฟังก์ชัน-รูปทั่วไป

โจทย์ต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน x2+ 3x + 5x + 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 วิธีทำก็คือแยกพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทั้งฝั่งซ้ายและขวา จากนั้นจึงแทนค่า x ลงไปในฟังก์ชัน จากคำตอบที่ได้จะเห็นว่าลิมิตของฟังก์ชัน x2+ 3x + 5x + 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากันทั้งทางซ้ายและขวา จึงสรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน x2+ 3x + 5x + 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากับ 3

 

ลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์

ต่อมาเป็นฟังก์ชันที่แอดวานซ์ขึ้นมาอีกระดับ นั่นก็คือฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์อยู่ด้วยนั่นเอง การทำโจทย์รูปแบบนี้เพื่อน ๆ ต้องทบทวนนิยามของค่าสัมบูรณ์ก่อน โดยนิยามของค่าสัมบูรณ์มีอยู่ว่าลิมิตของฟังก์ชัน-ค่าสัมบูรณ์
ลิมิตของฟังก์ชัน-ค่าสัมบูรณ์

ทบทวนนิยามของค่าสัมบูรณ์เรียบร้อยแล้วก็มาลองดูโจทย์กันเลย จากโจทย์จะเห็นว่า A ของเราคือ x-1 เมื่อแบ่งพิจารณาลิมิตทั้งสองฝั่งก็จะพบว่าลิมิตของฟังก์ชัน x-1x-1 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายไม่เท่ากับทางขวา จึงสรุปได้ว่าลิมิตของฟังก์ชัน x-1x-1 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ไม่มีค่า

 

ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

จากโจทย์การหาลิมิตซ้ายและขวาที่ดูกันไปในบทความที่แล้ว เราจะเห็นว่าลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วงมีทั้งแบบที่ลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและทางขวาเท่ากัน และไม่เท่ากัน อย่างเช่นตัวอย่างนี้ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง
โจทย์อยากรู้ว่าลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีค่าหรือไม่ แต่เมื่อแยกพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวา ก็พบว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 4 แต่ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางขวามีค่าเท่ากับ 2 ซึ่งจากนิยาม ถ้าลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายไม่เท่ากับลิมิตของฟังก์ชันทางขวา เราจะถือว่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น ไม่มีค่า หาค่าไม่ได้ หรือ ไม่มีลิมิตลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

จากโจทย์จะเห็นว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 3 ซึ่งเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวาเป๊ะ ๆ แต่เมื่อ x มีค่าเท่ากับ 1 ค่าของ f(1) กลับไม่เท่ากับลิมิตทางซ้ายและทางขวา แต่ไม่ต้องตกใจไป ในกรณีนี้เราถือว่าค่าของฟังก์ชันที่จุด a ไม่ต้องเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวาก็ได้ แต่ลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและขวายังต้องเท่ากันเหมือนเดิมนะ ! ดังนั้น จากตัวอย่างนี้ เราจึงถือว่าลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่ากับ 3

 

สรุปการมีลิมิตของฟังก์ชันอีกครั้งได้ว่า...

  1. ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา เราถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต
  2. ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา แต่ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a ไม่เท่ากับลิมิตทางซ้ายและขวาของฟังก์ชัน เราก็ยังถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต อยู่
  3. ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a เท่ากับลิมิตทางใดทางหนึ่ง (ซ้ายหรือขวาก้ได้) แต่ค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย ไม่เท่ากับค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น ไม่มีลิมิต 

 

ลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ

เราจะเห็นภาพเรื่องการเท่ากันของลิมิตทางซ้ายและขวามากขึ้นเมื่อเห็นกราฟ เพราะการเท่ากันของลิมิตทางซ้ายและทางขวา จะมีผลต่อความต่อเนื่องของกราฟด้วย อย่างเช่นตัวอย่างการหาลิมิตจากกราฟข้อนี้

ลิมิตของฟังก์ชัน-กราฟ

จะเห็นว่ากราฟ “ดูไม่ต่อเนื่อง” เป็นเส้นเดียวกันอย่างชัดเจน เพื่อน ๆ พอจะเดาได้ไหมว่าลิมิตของฟังก์ชันของกราฟนี้จะเป็นยังไง ?ลิมิตของฟังก์ชัน-กราฟ

โจทย์ต้องการหาลิมิตที่จุด x = 1เมื่อพิจารณาจากกราฟ (แบบไม่ต้องคิดเลขเลย) ก็จะได้คำตอบว่า f(1) = 6 ให้สังเกตที่ จุดทึบ นะ ไม่ใช่จุดโปร่ง (จุดโปร่งหมายถึงไม่เอาจ้า !) ส่วนลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางซ้าย เมื่อพิจารณาจากกราฟก็จะเห็นว่าค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 4 ในขณะที่ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ทางขวามีค่าเข้าใกล้ 2 ทำให้เราสรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ไม่มีค่า เพราะลิมิตทางซ้ายและขวาไม่เท่ากันนั่นเอง

 

Note: ระวังเรื่องเครื่องหมายด้วยนะ !!!

อีกหนึ่งจุดที่เรามักจะพลาดกันบ่อย ๆ ก็คือเรื่อง “เครื่องหมาย” เพื่อน ๆ ต้องสังเกตให้ดีว่าโจทย์ต้องการให้เราหาอะไร ระหว่าง...

ลิมิตของฟังก์ชัน-เครื่องหมาย

จบไปแล้วกับบทเรียนแคลคูลัสเรื่องการมีลิมิตของฟังก์ชัน จริง ๆ แล้ววิธีพิสูจน์ว่าฟังก์ชันนั้นมีลิมิตหรือไม่ก็มีนิยามที่ง่ายนิดเดียว ท่องเอาไว้นะว่า “ลิมิตทางซ้ายต้องเท่ากับลิมิตทางขวา” แต่ส่วนที่ยากคือเรื่องของค่าของลิมิตที่อาจจะไม่ได้อยู่ในรูปของจำนวนจริง ถ้าเพื่อน ๆ สงสัยว่าในกรณีแบบนี้เราจะหาค่าของลิมิตได้ไหม ก็สามารถดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน StartDee แล้วไปหาคำตอบพร้อม ๆ กันได้เลย หรือจะไปเรียนรู้ สมบัติของลิมิต ต่อก็ได้เช่นกัน (แต่รอบทเรียนจากเราสักหน่อยนะ) ลุยยยย

School-of-you-main-KV_840x123__Draft01

 

ขอขอบคุณข้อมูลจาก: กิตติศักดิ์ โพธิสุทธิ์กุล (ครูโฟม)

แสดงความคิดเห็น