สมบัติของลิมิต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 วิชาคณิตศาสตร์

สมบัติของลิมิต

หลังจากทำความรู้จักว่า ลิมิตของฟังก์ชันคืออะไร พร้อมรู้จักกับ ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา อีกหนึ่งทฤษฎีที่มีประโยช์มาก ๆ ก็คือ “สมบัติของลิมิต” ซึ่งเป็นเหมือนสูตรของลิมิตที่ช่วยให้เราแก้โจทย์ต่าง ๆ ได้ง่ายขึ้น จะมีอะไรบ้าง ไปดูกันเลย !

 

สูตรลิมิต หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน

สมบัติที่สำคัญของลิมิตมีอยู่ 9 ข้อด้วยกัน ได้แก่

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

1. สมบัติของค่าคงที่

สมบัติของค่าคงที่-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

เมื่อ c เป็นค่าคงที่ ลิมิตของ c เมื่อ x เข้าใกล้ a จะมีค่าเท่ากับ c ทันที ยกตัวอย่างเช่น

สมบัติของค่าคงที่-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

จากโจทย์เราต้องการหาค่าของลิมิตของ 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 11 จะเห็นว่า 2 นั้นเป็นค่าคงที่ เราจึงตอบได้เลยว่าลิมิตของ 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 11 มีค่าเท่ากับ 2

 

 2. สมบัติของการยกกำลัง

สมบัติของการยกกำลัง-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ถึงจะดูซับซ้อน แต่สมบัติข้อนี้ก็ไม่ยากเลย เมื่อ n เป็นจำนวนนับใด ๆ ลิมิตของ xn เมื่อ x เข้าใกล้ a จะเท่ากับ an เพื่อน ๆ สามารถหยิบ a เข้าไปแทนค่าใน x ได้เลย 

สมบัติของการยกกำลัง-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ยกตัวอย่างเช่นโจทย์ข้อนี้ เราต้องการหาลิมิตของ x3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 จากสมบัติของลิมิตที่เรารู้ เราสามารถแทนค่า x ด้วย 2 แล้วหาคำตอบตามปกติได้ทันที

 

3. สมบัติการคูณของค่าคงที่

สมบัติการคูณของค่าคงที่-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

เมื่อ c เป็นค่าคงที่ที่คูณอยู่กับฟังก์ชัน f(x) เราสามารถดึง c แยกออกมาแล้วหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ได้ตามปกติ

สมบัติการคูณของค่าคงที่-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ยกตัวอย่างเช่น การหาค่าของ 3x2 เมื่อ x เข้าใกล้ -3 เพื่อน ๆ จะเห็นว่า 3 ก็คือค่าคงที่หรือ c เราสามารถดึง 3 มาไว้ข้างหน้า แล้วแทนค่า x ด้วย -3 เพื่อหาคำตอบได้ตามปกติ

 

4. สมบัติการบวกและการลบ

สมบัติการบวกและการลบ-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ในสมบัติข้อนี้เพื่อน ๆ จะเห็นว่าฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่ามีหลายฟังก์ชันบวกหรือลบกันอยู่ 

ถ้าเจอโจทย์ลักษณะแบบนี้ เราสามารถกระจายลิมิตเข้าไปในทั้งสองฟังก์ชันและหาค่าได้ตามปกติ

สมบัติการบวกและการลบ-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

โจทย์ข้อนี้บอกว่าต้องการหาค่าของลิมิตของ 3x2 + 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 1 เราสามารถกระจายลิมิตเข้าไปให้ 3x2 และ 2x ได้ จากนั้นจึงดึง 3 และ 2 ที่เป็นค่าคงที่ออกมาหน้าลิมิต แทนค่า x ในฟังก์ชันด้วย 1 ค่าของลิมิตของ 3x2 + 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 1 จึงมีค่าเท่ากับ 3

 

5. สมบัติการคูณ

สมบัติการคูณ-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

เช่นเดียวกับการบวกและการลบ ถ้าเจอโจทย์ที่มีหลายฟังก์ชันกำลังคูณกันอยู่ เราสามารถกระจายลิมิตเข้าไปทั้งสองฟังก์ชันได้

 

6. สมบัติของการหาร

สมบัติการหาร-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

หากเราต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) หารด้วย g(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a  เราสามารถแจกลิมิตเข้าไปให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ได้เลย แต่มีข้อแม้ว่า ค่าของลิมิตของฟังก์ชัน g(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ต้องไม่เท่ากับศูนย์

สมบัติการหาร-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน (2x2 - 3)(x3 + 2) เมื่อ x เข้าใกล้ -1 เราสามารถแจกลิมิตให้ฟังก์ชัน 2x2 - 3 และ x3 + 2 จากนั้นจึงหาค่าของลิมิตทั้งสองฟังก์ชันด้วยสมบัติการลบ แยกค่าคงที่ออกมาแล้วแทนค่า เราก็จะได้คำตอบว่าลิมิตของฟังก์ชัน (2x2 - 3)(x3 + 2) เมื่อ x เข้าใกล้ -1 มีค่าเท่ากับ -1


7. สมบัติของฟังก์ชันพหุนาม

สมบัติของฟังก์ชันพหุนาม-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

เมื่อ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามและ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราสามารถแทนค่า a ลงในสมการพหุนามนั้นได้ทันที ทำไมถึงเป็นแบบนี้ เราจะมาพิสูจน์กัน !

สมบัติของฟังก์ชันพหุนาม-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

เมื่อ x เป็นพหุนาม และ k เป็นค่าคงที่ใด ๆ เราสามารถเขียนฟังก์ชันพหุนาม P(x) ได้ในรูป knxn + kn-1xn-1 + ... + k2x2 + k1x + k0

หากเราต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน P(x) เราสามารถกระจายลิมิตของผลบวกเข้าไปในวงเล็บได้ และเนื่องจาก k เป็นค่าคงที่ เราจึงสามารถดึงค่าคงที่ออกมาจากลิมิตทุกตัวได้ จากนั้นเราจึงแทนค่า x ด้วย a ได้ หรือ P(a) นั่นเอง ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม P(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a จึงมีค่าเท่ากับ P(a)  

 

8. สมบัติของเลขยกกำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

 

สมบัติของเลขยกกำลัง-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ยกตัวอย่างเช่นการหาลิมิตของฟังก์ชัน (2x - 5)5 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 จากสมบัติของลิมิตข้อนี้เราสามารถหาลิมิตของฟังก์ชัน 2x - 5 ด้วยการแทนค่า x ในฟังก์ชันด้วย 3 ได้เลย จากนั้นจึงยกกำลัง 5 คำตอบของข้อนี้จึงเป็น 1

 

9. สมบัติของรากที่ n

สมบัติของรากที่n-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

หากเราต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน n f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a เราสามารถดึงรากที่ n ออกมาและหาค่าของฟังก์ชัน f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ได้สมบัติของรากที่n-สมบัติของลิมิต-ม6-คณิตศาสตร์

ยกตัวอย่างเช่นโจทย์ข้อนี้ที่ต้องการหาค่าของลิมิตScreen Shot 2564-03-17 at 11.00.09เมื่อ x เข้าใกล้ -1 เพื่อน ๆ สามารถดึงรากที่ 3 ออกมาและหาลิมิตของฟังก์ชัน 5x3 - 11x2 + 8 ได้ จากนั้นจึงใช้สมบัติการลบของฟังก์ชัน แล้วแทนค่า x  ด้วย -1 ก็จะได้คำตอบเป็น -2

 

ถ้าเพื่อน ๆ ใช้สมบัติของลิมิตได้อย่างถูกต้อง แคลคูลัสก็จะไม่ยากอย่างที่คิด แต่สิ่งที่สำคัญคือต้องดูโจทย์ให้ออกว่าโจทย์แบบนี้สามารถใช้สมบัติของลิมิตข้อไหนมาแก้โจทย์ได้ และต้องอาศัยการทำโจทย์บ่อย ๆ เพื่อน ๆ สามารถดาวน์โหลดแอปพลิเคชัน StartDee เพื่อทำโจทย์และแบบฝึกหัดเพิ่มเติมได้แล้ว (แถมเรายังมีเฉลยวิธีทำอย่างละเอียดด้วยนะ) ทำโจทย์บ่อย ๆ รับรองว่าต้องเก่งขึ้นแน่นอน StartDee เป็นกำลังใจให้จ้า !

Banner_N-Dunk_Orange



ขอบคุณข้อมูลจาก: 

กิตติศํกดิ์ โพธิสุทธิ์กุล (ครูโฟม)

แสดงความคิดเห็น