ถ้าถามว่าลิมิตของฟังก์ชันมีค่าเท่าไหร่ เราขอตอบแบบไม่ต้องคิดอะไร “ไม่มีลิมิตชีวิตเกินร้อยจ้า”

ช้าก่อนนนน ลิมิตที่เราจะพาเพื่อน ๆ ไปทำความรู้จักในวันนี้ไม่ใช่ลิมิตแบบนั้นซะหน่อย !!! แต่เป็น “ลิมิตของฟังก์ชัน” ปฐมบทจากแคลคูลัส ม.6 ที่ทำให้ใครหลาย ๆ คนอึ้ง ๆๆๆ ทันทีที่เห็นโจทย์ต่างหากล่ะ ถ้าเพื่อน ๆ เริ่มสงสัยว่าจริง ๆ แล้วลิมิตของฟังก์ชันคืออะไร StartDee ขอแนะนำให้หยิบกระดาษปากกาขึ้นมาหาคำตอบไปพร้อม ๆ กันเลย !

ไม่ใช่แต่ใกล้เคียง: ลิมิตของฟังก์ชันคืออะไร ? ทำไมต้องหาลิมิต ?

ปกติเมื่อเราเห็นฟังก์ชันหรือสมการ สิ่งที่เราทำมาตลอดก็คือการแก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปร คำตอบที่ได้ก็มักจะเป็นตัวเลขเป๊ะ ๆ เราเรียกคำตอบแบบนี้ว่า “เป็นค่าของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง”

ยกตัวอย่างเช่น f(x) = x + 2 ที่ถ้าเราแทนค่า x เข้าไปปุ๊บ ก็จะได้ค่าของฟังก์ชัน และนำมาพล็อตเป็นกราฟได้ทันที

แต่ลิมิตนั้นแตกต่างออกไป เพราะเราไม่สนใจ “จุดที่เป็นคำตอบของฟังก์ชัน” แต่เลือกที่จะสนใจ “ค่าของฟังก์ชันที่เข้าใกล้จุดนั้น ๆ มากที่สุด” แทน ดังนั้นการหาลิมิตจึงเป็นการหาค่าที่ “เข้าใกล้” จุดที่เราสนใจมากที่สุด (เรียกว่าถึงไม่ใช่ แต่ก็ใกล้เคียงแหละเนอะ)

ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา

แต่ “การเข้าใกล้” ก็มีสองแบบ คือเข้าใกล้ทางซ้าย (ลิมิตทางซ้าย) และการเข้าใกล้ทางขวา (ลิมิตทางขวา) ถ้านึกภาพไม่ออก มาลองดูตัวอย่างนี้กัน

พิจารณาค่าของ f(x) = x + 2 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 แต่ x ≠ 2

โจทย์บอกว่า x ≠ 2 ดังนั้น x ของเราก็จะเป็นค่าที่เข้าใกล้กับ 2 

โดย x ที่เข้าใกล้ 2 ในทางบวก x ก็มีหลายค่า เช่น 2.1, 2.05, 2.001, 2.0001, 2.00001, ...

และ x ที่เข้าใกล้ 2 ในทางลบ x ก็มีหลายค่าเช่นกัน เช่น 1.9, 1.95, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999, …

และถ้าเราลองแทน x ลงไป จะสังเกตได้ว่า ยิ่ง x ของเรามีค่าที่ใกล้เคียง 2 มากเท่าไหร่ f(x) ก็จะยิ่งมีค่าที่เข้าใกล้ 4 มากขึ้นเท่านั้น

และถ้าเรานำค่าของ x และ f(x) มาพล็อตเป็นกราฟ เราก็จะเห็นว่าเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) ก็จะเข้าใกล้ 4 จริง ๆ ทั้งทางบวกและทางลบ

เราจึงสรุปได้ว่า ลิมิตทางซ้ายก็คือค่าที่ใกล้เคียงกับ 2 มาก ๆ แต่จะน้อยกว่า 2 อยู่นิดหน่อย ส่วน ลิมิตทางขวาก็จะมากกว่า 2 นิดหน่อย เช่นเดียวกัน

มาลองหาลิมิตกันเถอะ !

ถ้าเรากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์ (ค่าในแกน x และ y) เป็นสับเซตของจำนวนจริง

ถ้า f(x) มีค่าเท่ากับจำนวนจริง L₁ เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย (a^-)

และ f(x) มีค่าเท่ากับจำนวนจริง L₂ เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา (a⁺)

เราจะเขียนได้ว่า 

โดยมีข้อเน้นย้ำว่า L₁ และ L₂ ต้องเป็นจำนวนจริง เท่านั้น จากนิยามนี้ เราจะสรุปได้ว่า f(x) จะมีลิมิตได้ก็ต่อเมื่อ f(x) เข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนเดียวเท่านั้น ถ้าเข้าใจนิยามเบื้องต้นของลิมิตแล้ว เราลองมาหาค่าของลิมิตไปพร้อม ๆ กันดูดีกว่า

จากโจทย์นี้ เพื่อน ๆ จะเห็นว่า f(x) ของเราคือ (3x + 1) โดยที่ x เข้าใกล้ 3 ในทางลบ วิธีทำก็คือให้เพื่อน ๆ ลองแทนค่า x ด้วยค่าที่น้อยกว่า 3 แต่ใกล้เคียง 3 ดู เช่น 2.99… (แต่ตอนคำนวณก็คิดเป็น 3 ไปได้เลย เพราะ 2.99… มีค่าใกล้เคียง 3 มาก ๆ) เราจึงได้คำตอบว่า ลิมิตทางลบ (ทางซ้าย) ของ (3x + 1) มีค่าเท่ากับ 10 นั่นเอง ไม่ยากอย่างที่คิดใช่ไหมล่ะ

แต่ไม่ใช่ว่าทุก f(x) จะมีลิมิตนะ ไม่เชื่อลองดูตัวอย่างนี้พร้อม ๆ กัน

เมื่อเราลองแทน x ด้วยค่าที่ใกล้เคียงกับ 0 ในทางลบมาก ๆ เช่น - 0.000...1 เนื่องจากตัวส่วนมีค่าน้อยมาก ๆ ทำให้หารออกมาแล้วได้ตัวเลขที่เยอะสุด ๆ จนเราไม่รู้ว่ามันจะไปสิ้นสุดตรงไหน คำตอบที่ได้จึงเป็น -∞ หรือที่เราเรียกว่า “ไม่มีค่า” หรือ “ไม่มีลิมิต” นั่นเอง 

การหาลิมิตจากกราฟ

เพื่อน ๆ หลายคนเมื่อเจอกราฟแล้วอาจจะตกใจ แต่เราขอบอกว่าการหาลิมิตจากกราฟก็ไม่ยากอีกเช่นกัน 

จากกราฟ เมื่อเราพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ -1 เรา ต้องพิจารณาลิมิตทั้ง 2 ทาง ได้แก่ลิมิตทางซ้าย และลิมิตทางขวา

เมื่อลองลากเส้นจากจุดไปยังแกน x และแกน y ก็จะเห็นว่า เมื่อ x เข้าใกล้ -1 แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 4 ทั้งทางซ้ายและทางขวา ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ -1 จึงเท่ากับ 4 ทั้งในทางบวกและทางลบ

จากตัวอย่างที่ผ่านมาจุดที่ต้องการหาลิมิตเป็นกราฟที่มีความต่อเนื่อง ลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าใกล้ -1 จึงหาค่าได้ แต่ก็มีตัวอย่างการหาลิมิตจากกราฟอีกรูปแบบหนึ่งที่เราอยากพาเพื่อน ๆ ไปรู้จักเช่นกัน

จากรูปเป็นกราฟเดิมเป๊ะ ๆ เลย แต่โจทย์เปลี่ยนไปนิดหน่อย จากที่พิจารณา x ที่เข้าใกล้ -1 ก็เปลี่ยนมาพิจารณา x เมื่อเข้าใกล้ 2 แทน และเหมือนเดิม เมื่อพิจารณาลิมิตจากกราฟ เราต้องพิจารณาลิมิตทั้งทางซ้ายและทางขวา

สำหรับลิมิตทางซ้าย เมื่อเราลองลากเส้นจากจุดไปยังแกน x และแกน y จะเห็นว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ในทางซ้าย f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 4

ส่วนลิมิตทางขวา เมื่อเราลองลากเส้นดูจากจุดไปยังแกน x และแกน y ก็พบว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางขวา f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 6

จะเห็นว่ากราฟในจุดนี้ไม่มีความต่อเนื่อง ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางซ้ายและทางขวาจึงมีค่าไม่เท่ากัน

ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

โจทย์อีกหนึ่งรูปแบบที่มักมีสัดส่วนคะแนนเยอะเมื่อเทียบกับโจทย์ข้ออื่น ๆ ก็คือ “โจทย์ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง” นั่นเอง ข้อสังเกตเวลาทำโจทย์ที่เป็นฟังก์ชันแยกช่วงแบบนี้ก็คือ “ให้ดูว่า x ที่โจทย์สนใจอยู่ในเงื่อนไขไหน จากนั้นให้เลือกใช้ฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขมาแทนค่า x เพื่อหาคำตอบ”

จากโจทย์มีเงื่อนไขของ x มา 3 กรณี คือ

1. เมื่อ x มีค่าน้อยกว่า 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น 2 -  x²
2. เมื่อ x มีค่าเท่ากับ 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น 2
3. เมื่อ x มีค่ามากกว่า 2 ฟังก์ชันของ x จะเป็น x² + 1

พอเข้าใจสิ่งที่โจทย์บอกมา ทีนี้เราก็พร้อมแก้โจทย์แล้ว

จากข้อแรก โจทย์ต้องการให้เราหาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ -1 ในทางขวา (ทางบวก) สิ่งแรกที่เราต้องทำก็คือ “สังเกตค่าที่ x เข้าใกล้” จะเห็นว่า x ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ -1 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 2 ดังนั้นฟังก์ชันของเราจึงเป็น 2 -  x² เมื่อแทนค่า -0.99… ซึ่งเป็นค่าที่ใกล้เคียง -1 ในทางขวาลงไปในฟังก์ชัน จึงได้คำตอบว่า ลิมิตของฟังก์ชัน 2 -  x² เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ -1 ในทางขวามีค่าเท่ากับ 1

ข้อที่สอง x ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ 3 ซึ่ง 3 มีค่ามากกว่า 2 ทำให้เราเลือกฟังก์ชัน x² + 1 มาใช้ได้เลย จากนั้นจึงแทน x ด้วย 2.99… ซึ่งเป็นค่าที่เข้าใกล้ 3 ทางซ้าย (ทางลบ) ทำให้ลิมิตของฟังก์ชัน x² + 1 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 3 ในทางซ้ายมีค่าเท่ากับ 10

ส่วนข้อสามและสี่จะมีความพิเศษอยู่ที่ x วิ่งเข้าใกล้ 2 เหมือนกัน แต่โจทย์เป็นฟังก์ชันแยกช่วง ทำให้ฟังก์ชันของทั้งสองข้อเป็นคนละตัวกันเลย

จากข้อสาม โจทย์ต้องการให้เราหาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางซ้าย (ทางลบ) x ของเราจึงน้อยกว่าสองอยู่นิดหน่อย สมมติให้เป็น 1.99… ซึ่ง 1.99… นั้นมีค่าน้อยกว่า 2 เราจึงต้องเลือกใช้ฟังก์ชัน 2 -  x² มาหาลิมิต

จากนั้นก็เริ่มแทนค่าได้เลย เพื่อน ๆ จะเห็นว่า 1.99… นั้นมีค่าใกล้เคียงกับ 2 มาก ๆ เราเลยประมาณว่า x เป็น 2 ไปเลย จึงได้คำตอบว่า ลิมิตของฟังก์ชัน 2 -  x² เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางซ้ายมีค่าเท่ากับ -2 นั่นเอง

และในข้อสี่ x ที่โจทย์สนใจมีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางขวา (ทางบวก) ทำให้ x มากกว่า 2 เราเลยหยิบฟังก์ชัน x² + 1 มาใช้ได้ทันที จากนั้นก็แทนค่า 2.00… ซึ่งเป็นค่าที่เข้าใกล้ 2 (แต่มากกว่า 2 อยู่นิดหน่อย) ลงไป จึงได้คำตอบว่าลิมิตของฟังก์ชันx² + 1 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ในทางขวามีค่าเท่ากับ 5

สังเกตว่าถึง x จะเข้าใกล้ค่าเดียวกัน แต่ลิมิตของฟังก์ชันทางซ้ายและทางขวาอาจจะไม่เท่ากันก็ได้ ติดตามมาถึงตรงนี้ เพื่อน ๆ อาจจะเริ่มสงสัยกันขึ้นมาแล้วว่าลิมิตทางซ้ายและขวาไม่เท่ากันได้ด้วยเหรอ แล้วถ้าลิมิตทางซ้ายและทางขวาไม่เท่ากันจะเกิดอะไรขึ้น ถ้าอยากรู้ล่ะก็ ไปอ่านกันต่อได้เลยที่บทเรียนออนไลน์เรื่อง การมีลิมิตของฟังก์ชัน 

ส่วนเพื่อน ๆ ชั้นม.6 คนไหนอยากเรียนคณิตศาสตร์กันต่อ คลิกอ่านบทเรียนออนไลน์เรื่อง สถิติและข้อมูล หรือสถิติศาสตร์เชิงพรรณนา ได้เลย

ขอบคุณข้อมูลจาก: กิตติศักดิ์ โพธิสุทธิ์กุล (โฟม)